集合论公理系统

集合论公理系统

集合论公理系统(axiom systems for set theory)公理集合论的基础部分。如同平面几何中的点、线、面一样，集合是一个不加定义的原始概念。为了克服罗素悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是策梅洛和弗伦克尔等提出的Z-F集合论公理系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号“∈”，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理，再加上选择公理就构成Z-F-C系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如，柯恩于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明Z-F-C系统与连续统假设独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支 。

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